Как сделать бесконечные числа

Содержание
  1. Как сделать бесконечные числа
  2. Бесконечные «числа»
  3. Как ввести символ бесконечности в Windows и Mac?
  4. Сводка сочетаний клавиш для символа бесконечности
  5. Сочетания клавиш для ввода символа бесконечности в Windows
  6. Сочетания клавиш Alt-кода для символа бесконечности
  7. Сочетание клавиш Alt + X для Microsoft Word
  8. Использование служебной программы Symbol в документах Office
  9. Использование редактора формул в офисных документах
  10. Карта символов для копирования символа бесконечности
  11. Использование панели эмодзи в Windows 10
  12. Сочетания клавиш для ввода символа бесконечности на Mac
  13. Использование сочетания клавиш Option
  14. Использование программы просмотра символов для вставки символа бесконечности
  15. Символ бесконечности в HTML и CSS
  16. Варианты символов
  17. Другие символы бесконечности
  18. Бесконечность эмодзи
  19. Вставьте Infinity Emoji в Android и iPhone
  20. Виды бесконечностей и вынос мозга
  21. Известные факты
  22. Малоизвестные факты
  23. Гипотеза континуума — CH
  24. Все выше и выше.
  25. Сразу большой шаг
  26. Недостижимые мощности
  27. Еще дальше.
  28. Иерархия больших мощностей.

Как сделать бесконечные числа

Бесконечные «числа»

Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы покажем, бесконечно велико.

Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трехзначная группа цифр тоже обладала требуемым свойством.

Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через k. Тогда искомое трехзначное число изобразится:

Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:

Перемножим два числа этого вида; получим:

Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 1006+76, если разность

делится на 1000. Это, очевидно, будет только при k = 3.

Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376. Например:

Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спереди. Если эту цифру обозначим через l, то придем к задаче: при каком l произведение

оканчивается на 1000l + 376? Если в этом произведении раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, которые оканчиваются на 4 нуля и более, то останутся члены

Произведение оканчивается на 1000l + 376, если разность

делится на 10000. Это, очевидно, будет только при l = 9.

Искомая четырехзначная группа цифр 9376.

Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассуждать точно так же, как и выше. Мы получим 09376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109376, затем 7109376 и т. д.

Такое приписывание цифр слева можно производить неограниченное число раз. В результате мы получим «число», у которого бесконечно много цифр:

Подобные «числа» можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются справа налево, а сложение и умножение («столбиком») также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вычислять одну цифру за другой — сколько угодно цифр.

Интересно, что написанное выше бесконечное «число» удовлетворяет, как это ни кажется невероятным, уравнению

Б самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произведение его на себя) оканчивается на 76, так как каждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного «числа» оканчивается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры «числа» x 2 , где х =. 7109376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что х 2 = х.

Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76 * . Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:

* ( Заметим, что двузначная группа цифр 76 может быть найдена при помощи рассуждений, аналогичных приведенным выше: достаточно решить вопрос о том, какую цифру надо спереди приписать к цифре 6, чтобы полученная двузначная группа цифр обладала рассматриваемым свойством. Поэтому «число» . 7109376 можно получить, приписывая спереди одну за другой цифры к шестерке.)

В результате мы сможем написать еще одно бесконечное «число»

также удовлетворяющее уравнению х 2 = х. Можно было бы показать, что это бесконечное «число» «равно»

Полученный интересный результат на языке бесконечных «чисел» формулируется так: уравнение х 2 = х имеет (кроме обычных х = 0 и x = 1) два «бесконечных» решения:

а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет * .

* ( Бесконечные «числа» можно рассматривать не только в десятичной, айв других системах счисления. Такие числа, рассматриваемые в системе счисления с основанием р, называются р-адическими числами. Кое-что об этих числах можно прочесть в книге Е. Б. Дынкина и В. А. Успенского «Математические беседы» (Гостехиздат, 1952).)

Источник

Как ввести символ бесконечности в Windows и Mac?

Математическое значение бесконечности – это число больше любого счетного числа. Простой пример: любое число, деленное на ноль, приведет к бесконечности. Например, 5/0 = ∞. Однако ввести это простое уравнение в документы сложно, поскольку для символа бесконечности нет специальной клавиши. Если вы часто вводите символ бесконечности, вот сочетания клавиш и другие способы их использования.

Сводка сочетаний клавиш для символа бесконечности

Вот краткое изложение ярлыков для символа бесконечности. Символ имеет точку Юникода U + 221E, которую можно использовать в разных форматах для вставки в различные приложения.

Название символа Бесконечность (∞)
Ярлык альтернативного кода Alt + 8734
Alt + X (документ Word) 221E Alt + X
Ярлык Mac Option + 221E
HTML Entity Decimal
HTML-объект шестнадцатеричный
Имя объекта HTML
Значение CSS 221E;
Последовательность выхода из JS u221E
Десятичный 8734
Шестнадцатеричный 221E
Юникод U+221E
Читайте также:  Как сделать детский рождения

Сочетания клавиш для ввода символа бесконечности в Windows

В Windows есть несколько способов ввода символа бесконечности.

Сочетания клавиш Alt-кода для символа бесконечности

Самый простой способ вставить символ бесконечности в любое приложение Windows – использовать ярлыки альтернативного кода.

  • Включите блокировку цифр на клавиатуре.
  • Удерживайте одну из клавиш alt справа и слева от клавиши Shift.
  • Введите 8734 с цифровой клавиатуры на клавиатуре.
  • Это сделает символ бесконечности ∞.

Однако для этого метода требуется клавиатура с отдельной цифровой клавиатурой. Если вы используете компактный ноутбук, у которого нет отдельной цифровой клавиатуры, ознакомьтесь с этой статьей о том, поддерживает ли ваша клавиатура альтернативный код.

Сочетание клавиш Alt + X для Microsoft Word

В приведенном выше методе мы используем десятичный код вместе с клавишами alt на клавиатуре. В качестве альтернативы вы также можете использовать шестнадцатеричное значение с альтернативным кодом. Но этот метод будет работать только с документами Microsoft Word. Введите шестнадцатеричное значение 221E, а затем нажмите одновременно клавиши alt + x, чтобы создать символ бесконечности.

Использование служебной программы Symbol в документах Office

Не волнуйтесь, если сочетания клавиш вам не помогут. Есть много других альтернативных вариантов ввода символов на компьютере под управлением Windows. Следуйте приведенным ниже инструкциям для любых документов Office, таких как Word, Excel, PowerPoint и Outlook.

  • Перейдите в меню «Вставка> Символы> Символ> Другие символы».
  • В открывшемся всплывающем окне служебной программы «Символ» выберите «Математические операторы» в качестве значения подмножества.
  • Найдите символ бесконечности и нажмите кнопку «Вставить», чтобы добавить символ в свой документ.

Утилита Symbol в Office

Использование редактора формул в офисных документах

Иногда вы можете часто использовать уравнения, включающие математические операторы, такие как бесконечность, число Пи, деление и другие символы. В этом случае вместо сочетаний клавиш можно использовать редактор формул.

  • Откройте Excel, Word или любые другие приложения Office.
  • Перейдите в пункт меню «Вставить> Символы> Уравнение».
  • Это откроет редактор формул, и вы можете использовать символ бесконечности под основными математическими операторами.
  • Вы также можете найти предопределенные уравнения и формулы, которые можно вставить напрямую, выбрав.

Единственная проблема с редактором формул заключается в том, что вам нужно настроить вставленные формулы для выравнивания с другим текстовым содержимым в вашем документе. В частности, будет сложно распечатать уравнения, поскольку они не являются обычным текстом и неправильно выровнены.

Символ бесконечности в редакторе формул

Карта символов для копирования символа бесконечности

Подобно служебной программе «Символ» внутри документов Office, вы можете использовать приложение «Карта символов» для копирования символа бесконечности. Преимущество здесь в том, что вы можете использовать приложение независимо, чтобы вставить символ в любом месте, где вам нужно.

  • Нажмите клавиши «Control + R», чтобы открыть окно «Выполнить».
  • Введите charmap и нажмите клавишу ввода, это откроет приложение Character Map.
  • Выберите вариант «Поддиапазон Unicode» в раскрывающемся списке «Группировать по».
  • Во всплывающем окне выберите «Математические операторы».
  • Найдите символ бесконечности и щелкните по нему, чтобы выбрать.
  • Нажмите кнопку «Выбрать», а затем «Копировать», чтобы скопировать символ в буфер обмена.
  • После этого вы можете вставить символ где угодно.

Использование панели эмодзи в Windows 10

В Unicode есть официальный смайлик для символа бесконечности. Вы можете использовать панель смайлов, чтобы вставить этот смайлик в свои документы. Однако этот смайлик будет отображаться внутри поля на компьютерах с Windows, что делает его бесполезным для использования в математических целях. К счастью, вы можете использовать ту же панель эмодзи, чтобы вставить математический символ бесконечности.

  • Нажмите клавиши «Win + Dot», чтобы открыть панель смайлов.
  • Введите «бесконечность», чтобы найти символ смайлика.

Бесконечные эмодзи в Windows

  • Перейдите в раздел «Символы> Математические символы» и прокрутите вниз.
  • Найдите математические символы бесконечности и вставьте их в свой документ.

Символ бесконечности на панели эмодзи

Сочетания клавиш для ввода символа бесконечности на Mac

Есть два способа ввести символ бесконечности в macOS.

Использование сочетания клавиш Option

Клавиша Option в macOS эквивалентна клавише alt в ОС Windows. Вы можете использовать шестнадцатеричный код 221E с ключом опции в macOS.

  • Сначала измените метод ввода на Unicode Hex Input.
  • Удерживайте одну из клавиш выбора на клавиатуре.
  • Введите 221E, чтобы получить символ бесконечности ∞.

Использование программы просмотра символов для вставки символа бесконечности

Подобно карте символов в Windows, вы можете использовать приложение Character Viewer независимо для вставки любых символов.

  • Когда вы находитесь в любом приложении, нажимайте клавиши «Command + Control + Space».
  • Или перейдите в меню «Правка> Эмодзи и символы», чтобы открыть приложение для просмотра персонажей.
  • Введите бесконечность в поле поиска, чтобы отфильтровать символ.
  • Дважды щелкните символ бесконечности, чтобы вставить его в документ.

Символ бесконечности в средстве просмотра персонажей

Символ бесконечности в HTML и CSS

Используйте один из следующих форматов кода в своем HTML-документе, чтобы вставить символ бесконечности.

В CSS вы можете использовать следующий код, используя шестнадцатеричное значение символа Unicode.

Варианты символов

Вы можете настроить внешний вид символа бесконечности, как и любое другое текстовое содержимое. Для отображения символа, отличного от обычного текста, можно применять текстовые эффекты.

Примененные текстовые эффекты

На Mac вы можете выбрать вариант шрифта прямо из приложения Character Viewer без необходимости вручную применять текстовые эффекты.

Другие символы бесконечности

В Unicode есть несколько других символов бесконечности, которые также можно вводить с помощью сочетаний клавиш.

Читайте также:  Как глаза сделать темнее
Символ бесконечности Имя Ярлык Windows Ярлык Mac
Бесконечность эмодзи Alt + 9854 Option + 267E
Неполная бесконечность Alt + 10716 Вариант + 29DC
Связать бесконечность Alt + 10717 Вариант + 29DD
Бесконечность, отрицательная с вертикальной чертой Alt + 10718 Option + 29DE

Бесконечность эмодзи

Как упоминалось выше, символ эмодзи бесконечности имеет шестнадцатеричный код 267E. Хотя название такое же, как «математическая бесконечность», отображение этого эмодзи в разных приложениях отличается, как показано ниже.

Вставьте Infinity Emoji в Android и iPhone

Поскольку есть смайлик для символа бесконечности, вы можете легко вставить его на свой смартфон Android или iOS. Помните, что на Android вам может потребоваться приложение для расширения клавиатуры, такое как Gboard, чтобы добавить поддержку эмодзи.

  • Нажмите на значок эмодзи на клавиатуре, чтобы переключить клавиши на эмодзи.
  • Введите «бесконечность» в поле поиска, чтобы отфильтровать символ.
  • Нажмите на него, чтобы вставить в текстовое поле.
  • Кроме того, вы можете нажать на значок смайликов с символами, а затем найти бесконечность.

Источник

Виды бесконечностей и вынос мозга

Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.

Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые

Известные факты

  • Мощность множества целых чисел обозначается . Это первая бесконечная мощность, такие множества называются счетными.
  • Мощность любого бесконечного подмножества целых чисел — простые, четные итд. — тоже счетна.
  • Множество рациональных чисел, то есть дробей p/q тоже счетно, их можно пройти змейкой.
  • Для любой мощности есть операция powerset — множество всех подмножеств, которая создает мощность бОльшую, чем исходная. Иногда эта операция обозначается как возведение двойки в степень, то есть . powerset от счетной мощности есть мощность континуума.
  • Мощностью континуума обладают: конечные и бесконечные отрезки, плоские и объемные фигуры, и даже n-мерные пространства целиком
  • Для обычной математики следующая мощность, практически не нужна, обычно вся работа происходит со счетными множествами и множествами мощности континуума

Теперь

Малоизвестные факты

В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, «множество всех множеств» не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.

Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество <> и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью <<>>, двойку как <<<>>> итд. <5,2>есть <<<<<<<>>>>>>, <<<>>>>. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.

Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

Единственная операция, которая определена в теории множеств, это — символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:

То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это <

, >. Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! Et voila! весь математический анализ, который работает на уровне языков второго порядка, так как говорит не о существовании чисел, а существовании функций — коллапсирует в язык 1 порядка!

Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.

Гипотеза континуума — CH

Существует ли мощность между и ? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.

Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между и есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!

Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:

Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет

Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель

Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.

Все выше и выше.

Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!

Чтобы получить надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до , после чего, естественно, идет

Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс . Как вам такая мощность, например: ? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:

но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем

Сразу большой шаг

Далее мы пойдем быстрее:

У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?

Недостижимые мощности

Что если есть мощность настолько большая, , что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.

Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.

  • Во первых, это не первая недостижимая мощность, которую мы знаем. Первая… это всем знакомая счетная мощность. Как ни странно, она обладает всеми свойствами недостижимой — просто ее не принято так называть:
  • Бесконечную мощность никак не получить «снизу» — ни добавляя элементы конечное количество раз, ни итерируя powerset() конечное число раз, используя конечные множества для затравки, бесконечности вы не получите. Чтобы получить бесконечность, вы где-то должны уже иметь ее.
  • Существование бесконечной мощности вводится специальной аксиомой — аксиомой бесконечности. Без нее существование бесконечной мощности недоказуемо.

Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)

И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.

И да, это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.

Еще дальше.

Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя . Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.

Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:

Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?

Иерархия больших мощностей.

Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:

За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно. Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.

Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:

Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.

Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.

Источник

Читайте также:  Anydesk как сделать скриншот
Поделиться с друзьями
Ответ и точка